大学1年用数学問題bot @B1_math_bot
大学１年生が解けるべき、或いは知っているべき問題をつぶやいています。出題分野は線形代数や基礎解析がメインです。出典は主に市販の数学書や有名大学の院試からです。現在は40問ほどしかありませんが、これから増やしていく予定です。3月中に大学2年生用数学問題botに進化します Joined July 2015-
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【004】 U,Vを体K上のベクトル空間とする. このとき,一次写像f:U→Vに対して、次の等式が成り立つことを示せ. dimU=dim(Kerf)+dim(Imf)
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【037】 Aをn次複素正方行列とする. b_ijを,j-i=1のとき1,その他のとき0としB=(b_ij)とおく. このときAが Aⁿ⁻¹≠O , Aⁿ=O であれば, ある複素正則行列Pが存在して, P⁻¹AP=B とできることを示せ.
【028】 Aをn次複素正方行列とし,Eをn次単位行列とする. rankA=r (0≦r＜n)とする. このときAの固有方程式det(A-xE)を∑a_jxʲ おくと 0≦j≦n-r-1のとき a_j=0 であることを示せ.
【021】 全ての次数n(≥1)の多項式P(z)=a_n zⁿ+⋯+a₀はℂ内にn個の根(w₁⋯w_n,重複含む)をもち、PはP(z)=a_n(z-w₁)(z-w₂)⋯(z-w_n)と因数分解できることを示せ.
【009】 I=[0,1]とする (1)fとgをI上で定義された連続関数とする このとき全ての有理数r(0≦r≦1)で,f(r)=g(r)が成り立つならば 全ての実数x(x∈I)に対してf(x)=g(x)が成り立つことを示せ (2)I上で定義された連続関数全体の集合の濃度を求めよ
【022】 2つの集合A,Bについて、次の命題Pが成り立つことを示せ. P「AからBへの単射が存在する為の必要十分条件はBからAへの全射が存在することである」
【040】 D={(x,y)|0≦x≦y≦1}とするとき,次の広義積分が収束することを示し,その値を求めよ.b<1とする.
【023】 任意のn次複素正方行列A,Bに対し,ABとBAの固有方程式は一致することを示せ
【003】 体K上のベクトル空間Vの二つの部分空間U₁, U₂について、次の等式が成り立つことを示せ. dim(U₁+U₂)=dimU₁+dimU₂-dim(U₁∩U₂)
【031】 Aはn次エルミート行列であるとし, Aの相異なる固有値の全体をα_1,…α_kとし, 各α_j(1≦j≦k)に対応するAの固有空間をV_jと書く. mは正の奇数であるとする.このときn次複素正方行列Bが AᵐB=BAᵐをみたすならば,AB=BAとなることを示せ.
【036】 n本のn次元実列ベクトル{g_1,…g_n}が正規直交系を成し fをᵗg_1f≠0なるn次元実列ベクトルとし A=I+λfᵗg_1 (Iはn次単位行列,λ∈ℝ)とする このときAの逆行列が存在するための条件を求めよ さらにA⁻¹をI+µfᵗg_1(µ∈ℝ)の形で求めよ
【043】 写像f:ℝ→ℝ で次の条件を満たすものをひとつ求めよ ・fはx=0で無限回微分可能だが,x=0でテイラー展開可能ではない (例:f(x)=√(1+x)はx=0で無限回微分可能だがx=0でのテイラー展開 f(x)=∑½Cnxⁿ (|x|<1)を持つので条件を満たさない)
【008】 有理数は、整数、有限小数、循環小数のいずれかで表される.これを証明せよ.
【002】 A,Dがそれぞれr次,s次の正方行列であるとする. Bは(r,s)行列,Oはs行r列の零行列とする. さらにr+s次正方行列Fを画像の通りに定める. このとき、rank(A)+rank(D)≦rank(F)を示せ.
【028】 Aをn次複素正方行列とし,Eをn次単位行列とする. rankA=r (0≦r＜n)とする. このときAの固有方程式det(A-xE)を∑a_jxʲ おくと 0≦j≦n-r-1のとき a_j=0 であることを示せ.
【009】 I=[0,1]とする (1)fとgをI上で定義された連続関数とする このとき全ての有理数r(0≦r≦1)で,f(r)=g(r)が成り立つならば 全ての実数x(x∈I)に対してf(x)=g(x)が成り立つことを示せ (2)I上で定義された連続関数全体の集合の濃度を求めよ
【039】 a,b,c,d∈ℂとする. このとき次の2次複素正方行列Aが対角化可能でないための条件を求めよ.
【004】 U,Vを体K上のベクトル空間とする. このとき,一次写像f:U→Vに対して、次の等式が成り立つことを示せ. dimU=dim(Kerf)+dim(Imf)
【023】 任意のn次複素正方行列A,Bに対し,ABとBAの固有方程式は一致することを示せ
グレブナー基底... @groebner_basis
10K Followers 2K Following コンピュータを使った数学を研究している研究者。数学ラノベを書いてます。代表作「妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。」/「妹が微分積分に興味を持ち始めたのだが。」予約受付中https://t.co/Hg9uauHJP2 /受賞歴:カクヨムWeb小説短編賞受賞（漫画化）
整数問題bot @seisu_bot
18K Followers 11K Following 整数列の問題や整数に関連した多項式の問題なども整数問題とみなしています。中の人の数学力が低いため、問題が簡単に感じることがあります。整数を得点源にしたい人はぜひフォロー（受験生、数オリer向き）。たまに中の人の私情が流れます。
金子裕介 lucifer @fxgodzeuss
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なかがわまい @min_ac
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まりぴん🔰数�... @bodylifemethod
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